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数理方程的导出

波动方程(振动方程)

1. 一 维波动方程或者均匀弦的微小横振动

物理问题与物理规律

对象：一固定长度的 柔软 (只能承受轴向载荷压力和拉力，忽略弯矩和剪切，则轴向载荷的方向与弦变形后的切线方向相一致)、均匀 (单位长度的质量密度为一常数)，轻质（重力忽略不计）细弦，两端拉紧。

在 垂直于弦线方向 施加外加激励，让其离开原来平衡位置，将作微小的横向振动，求弦上个每个点的运动方程。

坐标系的建立：当弦在崩紧不振动时是一根直线,取这直线记作\(x\)轴（纵向）。在横向振动过程中，弦上每个点的纵向位移为0。即每个点的y值发生变化。\(u(x,t)\)表示\(t\) 时刻 \(x\) 位置处的横向位移，即\(y = u(x,t)\) 即求\(y = u(x,t)\) img

这里的横和纵类比横波和纵波的质点振动方向。

物理规律：牛顿第二定律

微小的横向振动

  • 不考虑在张力作用下弦(绳)的伸长变形（沿轴向的变形）， 只考虑弦(绳)上每个点的横向运动。
  • 弦(绳) 的横向位移相对于弦(绳) 的长度来说，是个小量。图中弦变形后的角度\(\alpha\)非常小， \(\alpha << 1\)。

物理方程的导出

  1. 微元法:取弦上一小段弧\(ds\),在如上图所示的坐标系中，\(x\)表示弦上某点的水平位置，\(\rho\)代表弦的线密度。\(u_{tt} = \frac{\partial ^2 u}{\partial t^2}\)
  2. 平衡方程: 根据牛顿第二定律:
  • 纵向方向\(x\)方向的平衡： \(T_2\cos\alpha_2 - T_1\cos\alpha_1 = 0\)
  • 横向方向\(y\)方向的平衡：\(T_2\sin\alpha_2 - T_1\sin\alpha_2 = \rho d_s u_{tt}\)

  1. 化简：

  2. x方向的平衡：

    根据小变形假设： 横向位移相对于弦(绳) 的长度来说是小量，图中弦变形后的角度\(\alpha\)非常小，\(\alpha<<1\)。

    \(\alpha_1 <<1,\cos\alpha_1\approx1,\alpha_2<<1,\cos\alpha_2\approx1\), \(\Rightarrow T_1=T_2=T\) 不考虑轴向运动影响，那么弦内张力保持不变。

  3. y方向的平衡：

    \(T_2\sin\alpha_2-T_1\sin\alpha_1=(\rho ds)u_{tt}\) 根据小变形假设： 横向位移相对于弦(绳) 的长度来说是小量

    \(\sin\alpha_1\approx\alpha_1\approx\tan\alpha_1=u_x(x,t),\sin\alpha_2\approx\alpha_2\approx\tan\alpha_2=u_x\left(x+dx,t\right)\)

    \[ \begin{array}{c}T_1=T_2=T\\T\left(\left.u_x\right|_{x+dx}-\left.u_x\right|_x\right)=\rho u_{tt}dx\end{array} \]
    \[ \left.u_x\right|_{x+dx}=u_x\left|_x+u_{xx}\right|_xdx+o(dx) \]

    忽略高阶小量，\(T\)为弦内张力：

    \[Tu_{xx}dx=\rho u_{tt}dx\]

弦的横向振动

\[Tu_{xx}=\rho u_{tt}\]

波速：记\(a^2 = \frac{T}{\rho}\), \(a\)的量纲为速度量纲。

\[u_{tt} = \frac{T}{\rho}u_{xx} = a^2u_{xx}\]

2.二维波动方程或者薄膜的微小横振动

物理问题和物理规律

对象: 一张均匀张紧的轻质薄膜，离开水平位置沿垂直于水平位置的微小振动。

坐标系的建立：以膜的水平位置(平衡状态)为xy平面，横向方向即为垂直xy平面的z轴。 用 \((x, y)\) 表示膜的位置，\(u(x,y,t)\)表示 \(t\) 时刻在 \((x, y)\) 位置处膜的横向位移。

如图1： \(\vec{n} = \vec{T}\times \vec{k}\)，即为 \(\vec{u}(t) = u(x,y,t)\vec{k}\)

imag

物理规律 ：牛顿第二定律

和弦问题一样， 根据水平方向的力平衡（任意方向），可知膜上的张力处处相同，记单位长度膜上的张力（切线方向）为\(T\)。\(T\)沿着\(u(x,y)\)的切线方向。

微元法： 取平面上的微小单元 \(dxdy\) 进行受力平衡分析:

受力分析： 沿\(x\) 轴方向两对边上由张力引起的横向合力为(u的方向即横向方向为垂直于xy平面的z轴方向)：

\[ \left(Tu_x\mid_{x+dx}-Tu_x\mid_x\right)dy=Tu_{xx}dxdy \]

沿\(y\)轴方向两对边上由张力引起的横向合力为：

\[ \left(Tu_y\mid_{y+dy}-Tu_y \mid_y\right)dx=Tu_{yy}dxdy \]

平衡方程： 用 \(\rho\) 表示单位面积的质量，\(T\)表示张力。

\[ Tu_{xx}dxdy+Tu_{yy}dxdy=\rho u_{_{tt}}dxdy \]

膜的横向振动 :

\[ u_{tt}=\frac{T}{\rho}{u_{xx}+u_{yy}}=\frac{T}{\rho}\Delta_{2}u(x,y)\]
  • 二维的拉普拉斯算符(子): \(\Delta_{2}=\frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2}}{\partial y^{2}}\)
  • 拉普拉斯算子\(\Delta\) 和 nabla\(\nabla\)算子
  • 薄膜被拉伸发生微小的横向的振动，但是各点的(x,y)不变。（至于是否发生微小形变，准确来说，由于膜上(x,y)的质点对应的z在振动，因此薄膜发生了形变）

3.均匀细长杆的纵向振动

物理问题和物理规律

对象: 一根均匀的细长杆，寻找沿轴向的纵向位移所应该遵循的方程。

参数和变量： \(x\) 表示某点的位置，\(u(x,t)\) 表示 \(t\) 时刻 \(x\) 位置处点的纵向位移. img

物理规律： 牛顿第二定律和胡克定律

纵向振动

横截面变形后还是横截面，横截面形状保持不变。用位移的梯度\(du/dx\) (应变) 来表征变形的程度。用单位横截面上的平均载荷来表征受力情况。

分析变形：

B 段左边的位移为 \(u(x,t),B\) 段右边的位移为\(u(x+dx,t) = u+du\), 所以 \(B\) 段的变形量为：

\[ u(x+dx,t)-u(x,t)=du = u_xdx \]

B段的相对变形(单位长度的变形量)为：\(u_x\)
相对伸长量\(u_x\)随地点\(x\)不同:
\(B\) 段左边的相对变形(单位长度的变形量)为： \(u_x(x,t)\)
\(B\) 段右边的相对变形(单位长度的变形量)为： \(u_x(x+dx,t)\)。

受力分析：

根据胡克定律， B 段左边由于变形受到 A 段对它的作用力为：\(ESux(x,t)\);

B 段右边由于变形受到 C 段对它的作用力为：\(ESux(x+dx,t)\)。

这里S为杆的横截面积，E为材料的弹性模量（类同于弹簧的劲度系数）。

弹性作用力为：\(ES\frac{du}{dx}\), 即为弹性模量\(\times\)横截面积\(\times\)应变

平衡方程： 根据牛顿第二定律

\[\rho Sdxu_t=ES\Bigl[u_x(x+dx,t)-u_x(x,t)\Bigr]=ESu_{xx}dx\]

\(\alpha\) 具有速度量纲，也是波速。 \(a^2=E/\rho\)

杆的纵向振动

\[ u_{tt}=\frac{E}{\rho} u_{xx} = a^2u_{xx}\]

扩散方程和热传导方程

1. 扩散方程

物理问题和物理规律

扩散(diffusion)： 由于物体内部物质浓度的分布不匀，导致物质从浓度高的区域向浓度低的区域转移。

物理规律：

  • 斐克第一定律(Fick’s first law)： 单位时间内通过单位面积粒子数率（通常称为粒子流通量）与粒子浓度的梯度成正比，方向与梯度方向相反，其比例系数称为扩散系数。

    • 扩散系数(diffusion coefficient)\(D\)与物质的性态、温度(温度越高，扩散越快)等因素有关。

    • 公式：

    \[\mathbf{q} = -D\nabla u\]

    其中，\(\mathbf{q}\) 为扩散流强度， \(D\) 为扩散系数，\(u(x,y,z,t)\) 为 \((x,y,z)\) 位置在 \(t\) 时刻的浓度，\(\nabla u\)为浓度梯度。

    • 分量形式：
    \[q_x= -D\frac{\partial{u}}{\partial{x}}, q_y= -D\frac{\partial{u}}{\partial{y}},q_z= -D\frac{\partial{u}}{\partial{z}}\]

注意这里的\(q_x,q_y,q_z\) 表示分量而不是偏微分。

  • 质量守恒定律：总质量（或者总颗粒数）随着时间的推移而保持不变。

微元：取空间一个平行六面体
img

参数和变量：\(u(x,y,z,t)\) 表示 \((x,y,z)\) 位置在 \(t\) 时刻的浓度，\(\nabla u\)表示某个位置处浓度的梯度。 总的流入量：

单位时间内：

沿着\(x\)方向的 净 流入量：

\[q_x\mid_{x} dxdy -q_x\mid_{x+dx} dxdy = - \frac{\partial{q_x}}{\partial{x}}dxdydz \]

根据Fick's first law的分量形式，\(x\)方向的净流入量也写作： \(D\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} dxdydz\)

因此总流入量：

\[D(\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial ^2 u}{\partial y^2}+ \frac{\partial ^2 u}{\partial z^2})dxdydz\]

质量守恒：

\[\frac{\partial u}{\partial t} dxdydz = D(\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial ^2 u}{\partial y^2}+ \frac{\partial ^2 u}{\partial z^2})dxdydz\]

无源和汇的扩散方程

\[u_t= D( \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial ^2 u}{\partial y^2}+ \frac{\partial ^2 u}{\partial z^2}) = D \Delta_3 u(x,y,z,t) = a^2\Delta_3 u \]

有源(或汇)的扩散方程

\[u_t - a^2\Delta_3u = F(x,y,z,t)\]

2.热传导方程

物理问题和物理规律

热传导(thermal conduction) ：由于物体内部温度分布的不匀，导致热量从温度高的区域向温度低的区域转移。

物理规律 ：

  • 热传导定律： 在导热过程中，单位时间内通过给定截面的导热量，正比于垂直于该截面方向上的温度变化率和截面面积；热量传递的方向与温度升高的方向相反。

    • 公式： \(\mathbf{q} = -k \nabla u\)

    其中，\(\mathbf{q}\) 为热流强度，即单位时间内通过单位面积的热量；\(k\)为热传导系数， \(u(x,y,z,t)\) 为 \((x,y,z)\) 在 \(t\) 时刻的温度。

    • 分量形式：

  • 能量守恒定律

无源和汇的热传导方程

\[\begin{aligned} &c\rho u_t=\frac\partial{\partial x}\big(ku_x\big)\\ &c\rho u_t=\left[\frac\partial{\partial x}\big(ku_x\big)+\frac\partial{\partial y}\big(ku_y\big)+\frac\partial{\partial z}\big(ku_z\big)\right] \end{aligned}\]

其中，\(c\) 为比热容，\(\rho\)为质量密度。

标准形式：

\[u_t = \frac{k}{c\rho} \Delta_3 u\]

静电场和引力势方程

具体见普物笔记，重点为散度，梯度，旋度的计算。 高斯定理：

\[\oint_{\sum} E \cdot dS = \frac{1}{\varepsilon_0}\int_T\rho dV\]

再根据高斯散度定理：

\[\oint_{\sum} E \cdot dS = \int_T \nabla \cdot E dV\]

因此有：

\[\nabla \cdot E = \frac{\rho}{\varepsilon_0}\]

再根据：

\[\begin{aligned} &E = - \nabla V\\ &\Rightarrow\Delta V = -\frac{\rho}{\varepsilon_0} \end{aligned}\]

静电场方程

高斯定理的微分形式：

\[\nabla \cdot E = \frac{\rho}{\varepsilon_0}\]

泊松定理:

\[\Delta V = -\frac{\rho}{\varepsilon_0}\]

稳态问题

稳态问题：稳定的浓度分布和稳定的温度分布 1. 在扩散问题中，如果扩散源强度不随时间变化，F= F(x,y,z) ， 那么当扩散时间足够长后，空间中各点的浓度将不再随时间发生变化，趋于一个稳定状态。 - 有不随时间变化的源：

\[D\Delta u = -F(x,y,z)\]
  • 无源
\[\Delta u = 0\]
  1. 在热传导问题中，如果热源强度不随时间变化，F= F(x,y,z) ， 那么当热传导时间足够长后，空间中各点的温度将不再随时间发生变化， 趋于一个稳定状态， 即\(\lim_{t\rightarrow \infty}u_t = 0\)。
  2. 有不随时间变化的源：
\[k\Delta u = -F(x,y,z)\]
  • 无源
\[\Delta u = 0\]