数理方程的分类

线性二阶偏微分方程

线性和齐次的定义

\[ \sum_{j=1}^n\sum_{i=1}^n\alpha_{ij}u_{x_ix_j}+\sum_{i=1}^nb_iu_{x_i}+cu-f=0 \]

如果系数\(a_{ij},b_i,c\)及\(f\)与\(u\)无关，只是 \(x_1,x_2,...,x_n\)的函数或者是常数 ，那么该方程对于\(u\)及其各阶导数来说是线性的，因此微分方程也是线性(linear)的。
记微分算子\(L{:}\)

\[ Lu=\sum_{j=1}^n\sum_{i=1}^na_{ij}u_{.x_ix_j}+\sum_{i=1}^nb_iu_{x_i}+cu\ \Longrightarrow Lu=f \]

\(L\)是线性 \(\Leftrightarrow L(u+\nu)=Lu+L\nu,L(\alpha u)=\alpha L(u),\forall u,\nu,\alpha\in C\)

线性与非线性举例

\(L\)是线性： \(\begin{aligned}L(u)=u_{xx}+1\end{aligned}\)\ \(L\)不是线性： \(\begin{aligned}L(u)&=u_t+uu_x\end{aligned}\)

自由项\(f\)

• 如果 \(f\equiv0\), 那么该方程被称为是齐次(homogeneous)方程。
• 如果 \(f\neq0\), 那么该方程被称为是非齐次(inhomogeneous)方程。 那么

\[\begin{aligned}Lu^h=&0,Lu^p=f\quad L(\alpha u^h+u^p)=f\end{aligned}\]

叠加原理

叠加原理 (superposition principle)：若泛定方程和定解条件都是线性的（可以是非齐次），可以把泛定方程和定解条件分别拆成多个 线性方程 的合理叠加。只要各部分的解分别满足各自的泛定方程和定解条件，那么叠加后的函数可以满足原来的方程和定解条件。
物理含义：几种不同原因综合所产生的效果，等于这些不同原因单独产生效果的累加。

两个自变量方程的分类

\[ a_{11}u_{xx}+2a_{12}u_{xy}+a_{22}u_{yy}+b_{1}u_{x}+b_{2}u_{y}+cu+f=0 \]

其中系数 \(\alpha_{11},\alpha_{12},\alpha_{22},b_1,b_2,c,f\)均为实数。

坐标替换，化简方程 引入两个新的自变数(自变量),进行坐标代换(变换):

\[\begin{cases}x=x(\xi,\eta)\\y=y(\xi,\eta)\end{cases}\quad\text{and}\quad\begin{cases}\xi=\xi(x,y)\\\eta=\eta(x,y)\end{cases}\]

这里要求坐标变换的雅可比矩阵(Jacobian matrix)非奇异，也就是要保证变换是可逆的：

\[J = \begin{bmatrix} \varepsilon\\ \eta \end{bmatrix} \times \begin{bmatrix} \frac{\partial}{\partial x}&\frac{\partial}{\partial y} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}\frac{\partial\xi}{\partial x}&\frac{\partial\xi}{\partial y}\\\frac{\partial\eta}{\partial x}&\frac{\partial\eta}{\partial y}\end{bmatrix} \]

\[ \left|J\right|=\frac{\partial(\xi,\eta)}{\partial(x,y)}=\frac{\partial\xi}{\partial x} \frac{\partial\eta}{\partial y} - \frac{\partial\xi}{\partial y} \frac{\partial\eta}{\partial x}\neq0 \]

导数推导过程

根据函数的导数链式法则：

\[\begin{cases}u_x=u_\xi\xi_x+u_\eta\eta_x\\u_y=u_\xi\xi_y+u_\eta\eta_y&\end{cases}\]

\[\begin{aligned} &u_{xx}=\left(u_{\xi\xi}\xi_x^2+u_{\xi\eta}\xi_x\eta_x+u_\xi\xi_{xx}\right)+\left(u_{\eta\xi}\eta_x\xi_x+u_{\eta\eta}\eta_x^2+u_\eta\eta_{xx}\right)\\ &u_{xy}=\left(u_{k\xi}\xi_x\xi_y+u_{\xi\eta}\xi_x\eta_y+u_\xi\xi_{xy}\right)+\left(u_{\eta\xi}\eta_x\xi_y+u_{\eta\eta}\eta_x\eta_y+u_\eta\eta_{xy}\right)\\ &u_{yy} =\left(u_{k\xi}\xi_y^2+u_{\xi\eta}\xi_y\eta_y+u_\xi\xi_{yy}\right)+\left(u_{\eta\xi}\eta_y\xi_y+u_{\eta\eta}\eta_y^2+u_\eta\eta_{yy}\right) \end{aligned}\]

代入到原来的偏微分方程后可以得到用新自变量 \(\varepsilon\) 和 \(\eta\) 表示的偏微分方程

\[\boxed{\begin{cases} &A_{11}u_{\xi\xi}+2A_{12}u_{\xi\eta}+A_{22}u_{\eta\eta}+B_{1}u_{\xi}+B_{2}u_{\eta}+Cu+F=0 \\ &A_{11}=a_{11}\xi_x^2+2a_{12}\xi_x\xi_y+a_{22}\xi_y^2 \\ &A_{12}=a_{11}\xi_x\eta_x+a_{12}\left(\xi_x\eta_y+\xi_y\eta_x\right)+a_{22}\xi_y\eta_y \\ &A_{22}=a_{11}\eta_x^2+2a_{12}\eta_x\eta_y+a_{22}\eta_y^2\\ &B_1 = a_{11}\xi{xx}+2a_{12}\xi_{xy}+a_{22}\xi_{yy}+b_1\xi_{x}+b_2\xi_{y}\\ &B_2 = a_{11}\eta{xx}+2a_{12}\eta_{xy}+a_{22}\eta_{yy}+b_1\eta_{x}+b_2\eta_{y}\\ &C = c\\ &F =f \end{cases}}\]

\(A_{11}\) 与 \(A_{22}\) 的形式非常相似，下面研究如何找到 \(\varepsilon(x,y)\) 和 \(\eta(x,y)\)时，使得两函数为以下偏微分方程的解:

\[\begin{equation} a_{11}z^2_x+2a_{12}z_x z_y+a_{22}z^2_y = 0\end{equation}\]

此时 \(A_{11}=A_{22} =0\)。因此通过换元或者坐标变换将原偏微分方程化为更简单的形式。

特征方程 方程(1)为齐次方程(这里的齐次和前面提到的自由项是否为0的齐次不同，此处指的是 \(z_x\)与 \(z_y\) 齐次)，其解为偏微分方程的特征曲线。
因此可化为:

\[\begin{equation} a_{11}\left(\frac{z_x}{z_y}\right)^2+2a_{12}\Bigg(\frac{z_x}{z_y}\Bigg)+a_{22}=0 \end{equation}\]

如果能够 找到使得方程(2)成立的解 \(z(x,y)\)，沿着曲线 \(z(x,y) = C\)(这里只需要找到这样的因此不是所有的解形式均为这样) 有

\[dz=z_xdx+z_ydy=0\Rightarrow\frac{dy}{dx}=-\frac{z_x}{z_y}\]

代入(2)中得到原偏微分方程的特征方程。

\[\begin{equation} a_{11}\left(\frac{dy}{dx}\right)^2-2a_{12}\left(\frac{dy}{dx}\right)+a_{22}=0 \end{equation}\]

一般地，有\(a_{11} \neq 0\),

\[\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\frac{a_{12}\pm\sqrt{a_{12}^2-a_{11}a_{22}}}{a_{11}}\]

\[\Delta = a^2_{12} - a_{11}a_{22}\]

和二次方程的 \(\Delta\) 略微不同，此处只关注正负以及比值，因此省略系数.

双曲线方程 \(\Delta > 0\)

\[\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\frac{a_{12}\pm\sqrt{a_{12}^2-a_{11}a_{22}}}{a_{11}}\]

\[\Longrightarrow \varepsilon,\eta = \int \Big(a_{12}\pm\sqrt{a_{12}^2-a_{11}a_{22}}\Big)\mathrm{d}x -a_{11}\mathrm{d}y\]

\[u_{\xi\eta}=-\frac1{2A_{12}}\Big(B_1u_\xi+B_2u_\eta+Cu+F\Big)\]

再作自变量变换 \(\alpha=\frac12(\xi+\eta),\beta=\frac12(\xi-\eta)\)

从而得到用自变量 \(\alpha\) 与 \(\beta\) 所表示的双曲型方程标准形式:

\[\begin{equation} \begin{aligned}u_{\alpha\alpha}-u_{\beta\beta}&=-\frac{1}{A_{12}}\Big[\big(B_1+B_2\big)u_\alpha+\big(B_1-B_2\big)u_\beta+2Cu+2F\Big]\end{aligned} \end{equation}\]

前面的各种波动(或振动)方程就属于双曲型方程.

抛物线方程 \(\Delta = 0\)

只有一条实的特征线,取为\(\xi\)

\[\xi=a_{11}y-a_{12}x \Longrightarrow\xi_{x}/\xi_{y}=-\mathrm{dy}/\mathrm{dx}=-\alpha_{12}/\alpha_{11}\]

把 \(\xi\) 代入到 \(A_{11}, A_{12},A_{22}\) 的表达式

\[\begin{aligned} &A_{11}=0\\ &A_{12}=-\frac{\xi_{y}\eta_{y}}{a_{11}}\Big[a_{12}^{2}-a_{11}\cdot a_{22}\Big]=0 \\ &A_{22}=\eta_y^2\Bigg[a_{11}\Bigg[\frac{\eta_x}{\eta_y}\Bigg]^2+2a_{12}\frac{\eta_x}{\eta_y}+a_{22}\Bigg]=\eta_y^2\Bigg[\sqrt{a_{11}}\Bigg(\frac{\eta_x}{\eta_y}\Bigg)\pm\sqrt{a_{22}}\Bigg]^2\end{aligned}\]

只要选择合适的 \(\eta\) ,使得 \((\eta_x/\eta_y)^2\neq a_{22}/a_{11}\) ,那么 \(A_{22}\neq0\)。 从而在新坐标下的控制方程为抛物方程的标准形式

\[ u_{\eta\eta}=-\frac1{A_{\gamma}}\Bigl(B_1u_\xi+B_2u_\eta+Cu+F\Bigr) \]

前面的扩散方程、热传导方程等都属于抛物方程。

椭圆方程 \(\Delta < 0\)

特征方程只有一组共轭复函数解\(\xi(x,\nu)\)及\(\xi^*(x,\nu)\)。 由于\(A_{11}=0\), \(A_{22}=0\), 此时方程为

\[ u_{\xi\eta}=-\frac1{2A_{12}}\Big(B_1u_{\xi}+B_2u_{\eta}+Cu+F\Big) \]

我们取 \(\alpha\) 和 \(\beta\) 分别为 \(\xi_{(x,y)}\) 函数的实部和虚部，即 \(\alpha=\operatorname{Re}(\xi)\), \(\beta=\operatorname{Im}(\xi)\), 得到椭圆方程的标准形式：

\[u_{\alpha\alpha}+u_{\beta\beta}=-\frac1{A_{12}}{\left[(B_1+B_2)u_\alpha+i(B_2-B_1)u_\beta+2Cu+F\right]}\]

前面的稳定浓度分布、稳定扩散分布及静电场势函数等都属于椭圆方程。