数理方程定解条件¶

如何使得方程的解存在且唯一

无论常微分方程还是偏微分方程，都需要给定具体的定解条件才能使得问题的解存在且唯一。

定解条件分为两类：

初始条件（ Initial conditions）：给定时刻（一般为系统初始时刻） t = t0时所分析区域上相关一些物理量的分布情况；
边界条件（Boundary conditions）：所分析区域的边界上，相关物理量所要满足的约束或者物理条件。

初始条件¶

不同的方程具有不同的初始条件

反映了系统初始时刻状态对结果的影响，必须给出整个分析区域上而不是个别点上的分布情况。

对于运输过程（扩散、热传导）方程中只出现时间 t 的一阶微分，只需要初始状态条件；
对于振动过程（弦、膜、杆振动，声振动和声波，电磁波等波动方程），由于方程中出现了时间 \(t\) 的二阶微分，因此需要给定两个初始条件：初始的状态+初始的“速度”(变化状态)；
对于稳态问题，由于初始状态不影响最终的稳态分布规律，因此无需给出初始条件。

边界条件¶

周围环境通过系统的边界对区域内的状态产生影响，这种影响需要用边界条件进行描述。

Dirichlet Boundary¶

第一类 (狄利克雷条件，Dirichlet boundary): 给定了物理量在边界上所要满足的条件。

细杆导热问题，比如，端点\(x=\alpha\) 的温度\(u\) 按已知的规律，函数\(f(t)\)发生变化。
细杆振动问题，端点\(x=\alpha\) 固定，\(u(x=\alpha,t)=0, \forall t\)。
弦的振动问题，端点\(x=\alpha\) 和端点\(x=b\) 同时固定，\(u(x=\alpha,t)=0,\quad u(x=b,t)=0, \quad \forall t\) 。

Neumann Boundary¶

第二类（纽曼，Neumann boundary）:给定物理量 沿边界上外法线方向的导数 （边界的梯度）所要满足的条件。

什么是外法线向量(outer normal vector)

An outward means that if you move a little bit in the direction of the vector, you will leave the object.
The normal vector, often simply called the "normal," to a surface is a vector which is perpendicular to the surface at a given point. When normals are considered on closed surfaces, the inward-pointing normal (pointing towards the interior of the surface) and outward-pointing normal are usually distinguished.

细杆纵向振动问题¶

细长杆的纵向振动问题的边界条件

1. 如果在右边端部 \(x = b\) 有一个沿轴向的外力 \(f (t)\)。在右边边界附近取一个非常小的微段，对这个微段进行受力平衡分析:

\[\left.\begin{aligned} & \left.ES\frac{\partial u}{\partial x}\right|_{x=b}=f(t) \\ & \left.\frac{\partial u}{\partial x}\right|_{x=b}=\left.\frac{\partial u}{\partial n}\right|_{x=b}\Rightarrow\begin{aligned} & \left.ES\frac{\partial u}{\partial n}\right|_{x=b}\end{aligned}=f(t)\end{aligned}\right.\]

这个轴向外力载荷作用在边界上，而不是作用在区域内，所以只是边界条件
根据牛顿第二定律，假设杆的体积密度为 \(\rho\) 应该有：

\[f(t) - ES\left.\frac{\partial u}{\partial x}\right|_{x=b} = \rho Sdx \]

为什么忽略了惯性力。因为取得是非常小得微段，即 \(dx\rightarrow0\)，所以惯性力 \(\rho S dx \rightarrow 0\)

\(u_x\) (\(u\) 对 \(x\) 的偏导)是以物体内部 \(x\) 轴为正方向，\(u_n\)是以边界上物体外法线方向为正方向，所以在右端 \(u_x = u_n\) , 在左端 \(u_x = -u_n\)
\(f(t)\)与坐标系方向一致，即以\(x\)轴正方向为其正方向。

如果在左边端部 \(x = a\) 处有一个沿轴向的外力 \(f (t)\) ，分析左边边界附近一个非常小微段的平衡，同理可得

\[\left.\begin{aligned} & \left.ES\frac{\partial u}{\partial x}\right|_{x=a}+f(t)=0 \\ & \left.\frac{\partial u}{\partial x}\right|_{x=a}=-\left.\frac{\partial u}{\partial n}\right|_{x=a}\Rightarrow\begin{aligned} & \left.ES\frac{\partial u}{\partial n}\right|_{x=a}\end{aligned}=f(t)\end{aligned}\right.\]

3.综合起来有：

\[ES\frac{\partial u}{\partial n}=f(t)\]

这里\(f(t)\)的方向和坐标轴正向一致

如果边界自由：

\[ES\frac{\partial u}{\partial n} = 0\]

热传导问题¶

根据热传导定理，沿着边界外法线方向的热流强度分量为：

\[\mathbf{q_n} = \mathbf{q} \cdot \mathbf{n} = -k\nabla u \cdot \mathbf{n} =-k\frac{\partial u}{\partial n}\]

边界上沿外法线方向的热流强度 \(q_n > 0\) ，说明热量是从物体内部向外传递；
边界上沿外法线方向的热流强度 \(q_n < 0\) ，说明热量是从物体外部向内部传递；

如果在边界上给定了沿外法线方向的热流强度f(t)，那么根据傅里叶定律得到的热流强度在边界上应该等于给定的热流强度 \(q_n = f(t)\)

细杆热传导问题的边界条件

左端热流流入流出
若左端有热流\(f(t)\)流出：\(q_x\)沿\(x\)轴负向，\(q_x = -k\frac{\partial u}{\partial x} = -f(t)， q_n = f(t)\)
若左端有热流\(f(t)\)流入: \(q_x\)沿\(x\)轴正向，\(q_x = -k\frac{\partial u}{\partial x} = f(t), q_n = -f(t)\)
右端热流流入流出
若右端有热流\(f(t)\)流出：\(q_x\)沿\(x\)轴正向，\(q_x = -k\frac{\partial u}{\partial x} = f(t)，q_n= f(t)\)
若右端有热流\(f(t)\)流入: \(q_x\)沿\(x\)轴负向，\(q_x = -k\frac{\partial u}{\partial x} = - f(t), q_n = -f(t)\)

这里因为已经指定了热流的方向，所以 \(f(t)\) 只是一个数值，不带符号。

对于任意形状的边界，如果给定了边界上沿外法向的热流强度 \(g (t)\) ( \(g (t)\)带着符号，流出为正，流入为负 )，则有：

\[\boxed{q_n = -k\frac{\partial u}{\partial n} = g(t)}\]

Robin Boundary¶

第三类（混合边界条件，Robin condition）：给定边界上 物理量与物理量沿外法线方向的方向导数 之间所应该满足的关系，较常见的情况为线性函数。

细杆纵向振动问题¶

细杆纵向振动问题

1. 如果右边端点 \(x = b\) 有一个固定的弹簧支撑，右边端点附近取一个微段，进行受力和平衡分析(惯性力可以忽略)，结合Hook's Law:

\[\left(\left.ES\frac{\partial u}{\partial n}+Ku\right)\right|_{x=b}=0,\quad\left(\left.ES\frac{\partial u}{\partial x}+Ku\right)\right|_{x=b}=0\]

如果左边端点 \(x = a\) 有固定的弹簧支撑:

\[\left(\left.ES\frac{\partial u}{\partial n}+Ku\right)\right|_{x=a}=0,\quad\left(\left.ES\frac{\partial u}{\partial x}-Ku\right)\right|_{x=a}=0\]

细杆自由冷却问题¶

热交换（heat transfer） 有三种性质：热传导 (heat conduction): 热能从高温向低温部分转移的过程
热对流 (heat convection): 热量通过流动介质传递的过程
热辐射 (heat radiation)：物体由于具有温度而辐射电磁波的现象。

细杆导自由冷却 ：端部放在一个确定温度的环境中自由冷却，端部与环境之间 由于存在温差有热对流 ，此时既不能立即确定温度，也不能立即确定温度的梯度。

牛顿冷却定理：

\[\frac{dT}{dt}=h(T_e-T)\]

\(h\) 称为热交换系数， \(T_e\) 为环境温度

细杆自由冷却问题

边界上的热传导引起的热量变化量应该等于热交换引起的热量变化量。

如果左边端部 \(x = a\) 放置在温度为 \(\theta\) 的环境中自由冷却，环境的热交换系数为 \(h\) 。

\[q_n=-k\frac{\partial u}{\partial n}|_{x=a}=\boxed{h\left(\left.u\right|_{x=a}-\theta\right)}\]

一般表面的自由冷却问题

如图所示，圆管外面 \(r > r_2\) 包裹有绝热材料，圆管内部 \(r < r_1\) 流经温度固定的气体（或者流体），其热交换系数为 \(h\) ，请写出相应的边界条件。

外边界，由于外边界为绝热材料，没有热交换，因此：

\[\frac{\partial u}{\partial r}\Big|_{r=r_2}=0\]

内边界与圆管内部的流体有热对流:

\[q_r = - k\frac{\partial u}{\partial r}\Big|_{r=r_1}=- h\Big[\left.u\right|_{r=r_1}-u_e\Big]\]

再根据 \(\vec{n}\) 与 \(\vec{r}\) 方向相反，内边界的外法线指向圆心

\[\frac{\partial u}{\partial r}=-\frac{\partial u}{\partial n}\]

\[q_n = -k\frac{\partial u}{\partial n} = h[\left.u\right|_{r = r1}- u_e]\]

衔接（连续）条件¶

对于有些问题，

所要分析的物理量在区域内某个位置可能有间断（比如有侧向集中载荷作用于振动弦的中间），
或者所研究对象的物理属性发生间断（如细长杆是由两种不同截面的杆连接而成、热传导细杆中不同区域的热传导系数不同等等），

此时我们无法用一个在整个区域内连续（或者光滑）的函数来表示所要研究的物理量，必须用两个或者更多的函数来分别表示不同区域的解（或者是用分段的连续函数来表示），

这些函数在交界处需要满足与物理现象相对应的连续条件（ 值连续、导数连续 等等），这样的连续条件我们称之为衔接条件。

物理量某个位置发生间断

如图所示，弦在 \(x_{0}\)处受到一个侧向集中载荷的作用，我们分别用 \(u_L\) 和 \(u_R\)来表示\(x_{0}\) 左边及右边的位移函数，

位移连续条件为：

\[u_L(x_0-,t){=}u_R(x_0+,t)\]

力的连续条件为

\[T\sin\alpha_1+T\sin\alpha_2 = F(t)\]

\[\begin{aligned}Tu_{Rx}(x_0+,t)+Tu_{Lx}(x_0-,t)-F(t)=0\end{aligned}\]

物理属性的间断

位移连续：

\[u_1(x_0^-, t) = u_2(x_0^+,t)\]

力连续：

\[E_1S_1\frac{\partial u_1(x_0^-,t)}{\partial x} = E_2S_2\frac{\partial u_2(x_0^+,t)}{\partial x}\]

同理，对于不同材料构成的细杆热传导问题，需要满足间断处温度连续，热流强度连续