高等代数¶

行列式¶

二阶行列式和三阶行列式¶

解线性方程组（待定系数消元法）自然出现的表达式
递归定义
余子式\(M_{ij}\)
代数余子式\(A_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij}\)
组合定义
主对角线（左上到右下↘）
上（下）三角行列式（定义用数学描述）
对角矩阵
转置（行列互换，主对角线对称）
几何意义（\(S_{\triangle OAB} = \frac{1}{2} |A_{2 \times 2} |\)，\(V_{OABC} = \frac{1}{6}|A_{3 \times 3}|\)四面体的体积）

n阶行列式\(det(A) |A|\)（递归定义性质组合定义）¶

定义（数归的余子项定义）
性质
上（下）三角行列式值等于主对角线的元素之积
（倍乘变换）将行列式的某一行或者某一列乘以一个常数c，则得到的行列式\(|B| = c |A|\)
- 如果某一行或者某一列的元素全为0则行列式的值为0
（对换变换）对换行列式的任意不同两行（列），行列式的值改变符号
- 若行列式的两行（列）成比列，则行列式的值为0
（倍加变换）行列式的一行（列）加到另一行（列）上，行列式的值不变
行列式按照某一行（列）相加（\(|C| = |A| + |B|,c_{ir}=a_{ir}+b_{ir}\)\((i = 1,2,\cdots,n\)）而其他元素相同

行列式的展开和转置¶

对任意的一列（行）展开（通常按照第一列展开）
- \(|A| = a_{1r}A_{1r}+a_{2r}A_{2r}+\cdots+a_{nr}A{nr}\)（对任意的r列展开）
- \(\forall s\ne t,a_{1r}A_{1s}+a_{2r}A_{2s}+\cdots+a_{nr}A_{ns} = 0\)
行列式转置后值不变
\(Cramar\)法则\(x_i=\frac{|A_i|}{|A|}\)\(A_i\)为第i列被b替换

行列式的等价定义¶

定义：全排列，全排列的集合\(S_n\), 逆序对，逆序数\(N\)（逆序对的总个数），偶（奇）排列

引理：对换全排列中任意两个数，则全排列的奇偶性改变（先证明对换相邻元素奇偶性改变，再说明对换不相邻元素相当于做了2（j-i）- 1 次相邻对换）

引理：设\(n \ge 2,\)\(S_n\)中j奇偶排列各占一半
命题：设\((k_1,k_2,\cdots,k_n)\in S_n\),则\(k_1,k-2,\cdots,k_n)\)经过\(N(k_1,k_2,\cdots,k_n)\)次相邻对换可以变为常排列\((1,2,\cdots,n)\)

定理

定理：\(|A| = \sum_{(k_1,k_2\cdots,k_n)\in S_n} (-1)^{N(k_1,k_2,\cdots,k_n)} a_{k_11}a_{k_22}\cdots a_{k_nn}\)（行列式的组合定义）

矩阵¶

定义¶

运算¶

加减法
\((A + B)_{ij} = a_{ij} + b_{ij}\)类比向量加法
运算规则（4）
- 交换律\(A+B= B+A\)
- 结合律\((A+B)+C=A+(B+C)\)
- 零元\(0+A=A\)
- 负元\(A+(-A)=0\)
数乘
\((cA)_{ij} = ca_{ij}\)每个元素加倍
运算规则（5）
- 分配律\(c(A+B) = cA+cB\);\((c+d)A=cA+dA\)（左右分配律）
- 结合律\((cd)A=c(dA)\)
- 单位元\(1 \cdot A=A\)
- 零元\(0\cdot A=0\)
矩阵的乘法
\(AB = rowA\times columeB\)
运算规则（4）
- 结合律\((AB)C=A(BC)\)
- 分配律\(A(B+C)=AB+AC\);\((A+B)C =AC+BC\)（左右分配律）
- 与数乘的交换 \(c(AB)=(cA)B=A(cB)\)
- 单位矩阵\(m\times n ,I_mA=A=AI_n\)
方阵幂的运算规则（同一般运算）\(A^rA^S=A^{r+s}\);\((A^r)^s =A^{rs}\)
矩阵的转置
定义
运算规则（4）
- 两次转置复原 \((A^\prime)^\prime =A\)
- 分配律\((A+B)^{\prime}=A^{\prime}+B^{\prime}\)
- 标量乘法转置 \((cA)^{\prime}=cA^{\prime}\)
- 矩阵乘法转置 \((AB)^\prime = B^\prime A^\prime\)
矩阵的共轭

方阵的逆阵¶

逆阵，可逆阵（非异阵）奇异阵
逆阵唯一
矩阵乘法的结合律
运算规则（4） \(A\)是非异阵
两次求逆复原 \((A^{-1})^{-1} = A\)
- 矩阵乘法求逆 \((AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1}\)
- 标量乘法求逆\((cA)^{-1}=c^{-1}A^{-1}\)
- 转置求逆转置的逆是逆的转置 \((A^\prime)^{-1} = (A^{-1})^\prime\)
伴随矩阵\((A^*)_{i,j}=A_{ij}\)(代数余子式)
\(AA^* = A^*A = \left|A\right|I_n\)(对角线上均为\(|A|\)的单位阵)
\(A^{-1} = \frac{A^*}{\left|A\right|}\)(\(A\ne 0\))(\(|A|\ne 0\)则\(A\)为非异阵）
\(Cramar\)法则

矩阵的初等变换与初等矩阵¶

\(Gauss\)消元法（初等行变换）
写出系数矩阵的增广矩阵\(A^\sim\)
对换，使第一行，第一列元素不为零
第一行乘以某个数加到第二行，重复直到消去第一列除第一列的所有元素
重复操作
初等变换
对换
倍乘
倍加
相抵
\(A\)经过有限次初等变换（行及列）后变成\(B\)，\(A\)与\(B\)等价 \(A\)与\(B\)相抵\(A\sim B\)
- 相抵关系的性质：
  - 自反性：\(A\sim A\)
  - 对称性：\(A\sim B\)则\(B\sim A\)
  - 传递性：\(A\sim B,B\sim C\)则\(A\sim C\)
- 任一矩阵必相抵与相抵标准形
  - 任意一个矩阵都可以经过初等变换化为相抵标准型
阶梯形矩阵
任一矩经过若干次初等行变换，A可以化为阶梯形矩阵
初等矩阵(对单位矩阵初等变换)
分类 - \(P_{ij}\) - \(P_i(c)\) - \(T_{ij}(c) row_i\times c + row_j\)(改变的是的第j行）
左乘行变换，右乘列变换
矩阵初等矩阵可逆且其逆阵仍是同类矩阵
非异阵初等变换后仍可逆，奇异初等变换后仍奇异（反证）
初等矩阵行列式 - \(|P_{ij}|=-1,|P_i(c)|=c;|T_{ij}(c)|=1\)

矩阵乘积的行列式与初等变换法求逆阵¶

\(A\)为一个\(n\)阶可逆阵，则仅用初等行变换或者仅用初等列变换就可以将它化为单位阵\(I_n\)
任一\(n\)阶非异阵均可表示成有限个初等矩阵的积\(P_m\dots P_1 A=I_n\)\(A=P_1^{-1}\dots P_m^{-1}\)
一个\(n\)阶方阵 A 为非异阵的充要条件是它的行列式不为 0
任何一个矩阵：\(P_s\dots P_1AQ_1\dots Q_r= D\)(D为A 的相抵标准型）
设\(A\)为一个\(n\)阶方阵，\(Q\)是一个\(n\)阶初等矩阵，则\(|QA|=|Q||A|=|AQ|\)
非异阵初等变换后认为非异阵，奇异阵初等变换后仍奇异
\(A\)\(B\)都是 n 阶矩阵，则\(|AB|=|A||B|\)
- \(|A^{-1}|=|A|^{-1}\)
求矩阵的逆阵\((A \ I_n)\rightarrow (I_n \ A^{-1})\)
求线性方程组的解\((A \ B)\rightarrow(I_n \ A^{-1}B)\)只进行变换（由于A为非异阵，因此只进行变换则可化为单位阵）
（化为阶梯阵可只通过行变换，化为相抵标准型则可能用到列变换）

分块矩阵¶

定义行（列）分块方式，第i分块行（列）
相等
加法（条件具有相同的行列分块方式）
数乘
矩阵乘法 A的列分块方式和B的行分块方式相同分块矩阵乘积和普通矩阵的乘积一致
转置分块转置，分块内部再转置
共轭每一个分块的共轭
分块对角矩阵 \(A_i,B_i\)为同阶矩阵\(A = diag\{A_1,A_2,\cdots,A_k\},B=diag\{B_1,B_2,\cdots,B_k\},AB =diag\{A_1B_1,A_2B_2,\cdots,A_kB_k\}\)
分块初等矩阵
分块初等矩阵是非异阵\(P^{-1} _{ij}=P^T_{ij},P^{-1}_i（M）= P_{ij}(M^{-1})，T^{-1}_{ij}(M)=T_{ij}(M^{-1})\)

Caunchy-Biolet定理¶

线性空间¶

定义:\(\ K\)是一个数域，\(V\)是一个集合满足八条性质则V是K上的线性空间
对加法和数乘封闭(验证子空间）
加法：
- 交换律
- 结合律
- 零元（唯一性）
- 负元（唯一性）
数乘
- 分配律\(k(\alpha+\beta)=k\alpha+k\beta\);\((k+l)\alpha=k\alpha+l\alpha\)
- 结合律
- 单位元

向量的线性关系¶

线性组合（线性表示）\(V\)是\(K\)上的线性空间记为\(V(K)\)
注意\(C(R）\)\(\{1,i\}\)为一组基与\(C(C)\)\(1\)与\(i\)线性相关，\(\{1\}\)为一组基（因为此时\(k\)可以取复数）\(\alpha_1,\alpha_2\dots,\alpha_n,\beta\in V ,\exist k_1,k_2 \dots k_n\in K,s.t.\beta=k_1\alpha_1+k_2\alpha_2+\dots k_n\alpha_n\)(线性表示唯一的充要条件是\(\alpha_1,\alpha_2\dots,\alpha_n\)线性无关）
线性相关及线性无关
线性组合:
- 一组向量线性无关，只有系数全为0的线性组合才等于零向量
- 一组向量线性相关，存在系数不全为0的线性组合等于零向量
线性表示：
- 一组向量线性无关，任一向量都不能被其他向量线性表示
- 一组向量线性相关，至少存在一个向量能被其他向量线性表示
线性方程组\(rank(A) = r = n\)对系数矩阵进行\(Gauss\)消元（初等行变换）化为阶梯型矩阵。计算行秩即为列秩；阶梯点对应的原来的列向量即为列空间的一组基
- 一组列向量\(\{\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_n\}\)线性无关，\(x_1\alpha_1+x_2\alpha_2+\dots+x_n\alpha_n = 0\)只有一组全为0的解
- 一组列向量\(\{\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_n\}\)线性相关，\(x_1\alpha_1+x_2\alpha_2+\dots+x_n\alpha_n = 0\)至少有一组不全为0的解
已知\(\beta\)能由一组向量\(\{\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_n\}\)线性表示
- 该组向量线性无关\(\Leftrightarrow\beta\in V\)(同一个线性空间）由该组向量线性表示的方式唯一
- 该组向量线性相关\(\Leftrightarrow\beta\in V\)(同一个线性空间）由该组向量线性表示的方式不唯一
向量组的包含关系
- 若一组向量线性相关，则任一包含这组向量的向量组必线性相关；
- 若一组向量线性无关，则从这组向量中任取一组向量必线性无关
线性表示的传递性:向量A中向量可由B中向量线性表示，B中向量可由C中向量线性表示，则A中向量可由C中向量线性表示。

向量组的秩¶

极大无关组：线性空间\(V\)中有一族向量\(S\)存在一组向量\(\{\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\dots \alpha_r\}\)
线性无关
这族向量中的任一向量都可以被这组向量线性表示.
向量族**S**的极大线性无关组所含的向量个数称为**S **的秩，\(rank(S)\)
存在性：由有限个向量组成的至少包含一个非零向量的向量族的极大无关组一定存在(对S的向量个数数学归纳)

命题

命题：\(A,B\)是\(V\)中的两组向量，\(A\)中\(r\)个向量，\(B\)中有\(s\)个向量，且\(A\)可由\(B\)中向量线性表示（可用A 中向量替换B的线性表示组） - 若A中向量线性无关，则有 \(r\le s\) - 若\(r>s\),则A中向量线性相关

推论：
（秩的唯一性）向量族的两组极大线性无关组的向量个数相等
n维向量空间中任意超过n个的向量必然线性相关
等价
A,B可以互相线性表示，记为A~B
等价的向量组拥有相同的秩（利用上述）
基的判定定理
n维线性空间中任一超过n个向量的向量组一定线性相关
V是n 维线性空间，满足下列条件之一的含有n个向量的向量组是V的一组基
- 线性无关（该向量组和任一v必定线性相关）
- V中任一向量均可由该向量组线性表示
基的扩充定理
V 是n维线性空间，\(v_1,v_2\dots,v_m\)是 V中m(m<n)个线性无关向量，\(\{e_1,e_2,\dots e_n\}\)是V 中的一组基，则必可在 \(\{e_1,e_2,\dots,e_n\}\)中选出 n - m 个向量，使之和\(v_1,v_2,\cdots v_m\)一起组成V的一组基。

矩阵的秩¶

矩阵的行秩和列秩在初等变换下不变
\(A = (\alpha_1 \alpha_2 \cdots \alpha_n ); C(A) = L\{\alpha_{j_1},\alpha{j_2},\cdots,\alpha_{j_r}\}\)Q为非异阵，\(QA = (Q\alpha_1Q \alpha_2 \cdots Q\alpha_n ); C(QA) = L\{Q\alpha_{j_1},Q\alpha{j_2},\cdots,Q\alpha_{j_r}\}\)

初等行变换保持矩阵列向量的极大无关组的列指标。

行秩等于列秩（进行初等变换化为相抵标准型）
矩阵的转置秩不变
设\(A\in M_{m \times n}(K)\),\(P\)为m阶非异阵，\(Q\)为n阶非异阵，则\(r(PAQ )=r(A)\) (与非异阵相乘秩不变）
\(A\in M_{m \times n}(K)\),存在\(P\)m阶非异阵，存在\(Q\)为n阶非异阵，使得\(PAQ = \begin{bmatrix} I_r& O\\ O &O \end{bmatrix}\)(相抵标准型）
A~B\(\Longleftrightarrow\)r(A) = r(B)
A为n阶方阵，r(A) = n\(\Longleftrightarrow\)A为非异阵
引理：A为阶梯矩阵，A的秩等于其非零行的个数，且阶梯点所在的列向量是A的列向量的极大无关组。

子空间¶

线性方程的解¶

线性映射¶

映射¶

映射\(f\):\(A\longrightarrow B\)\(\forall a\longrightarrow\exists1 b\)

满射:若\(Imf =B\)
单射：若\(a_1\ne a_2,\)则\(f(a_1)\ne f(a_2)\)；若\(f(a_1)=f(a_2)\),则必有\(a_1=a_2\)
复合映射：
逆射：
引理：设\(f:A\longrightarrow B,\)\(f^{-1}\)存在\(\longleftrightarrow\)\(f\)是双射

线性映射¶

定义
对象：V，U 两个线性空间的映射，满足线性加法和数乘性质
特殊映射
- 满线性映射
- 单线性映射
- 线性变换
- 线性同构
- 零线性映射
- 恒等变换
命题：\(\varphi:V\rightarrow U\)为线性映射
\(\varphi(O_V) =O_U\)
线性组合的保持：\(\forall\alpha,\beta\in V,k,l\in K,\varphi(k\alpha + l\beta )=k\varphi(\alpha) + l \varphi(\beta)\)
线性同构的逆映射也为线性同构：若\(\varphi:V\rightarrow U\)为同构，则\(\varphi^{-1}：U\rightarrow V\)也为线性同构（只需证明逆映射保持线性组合）
线性同构的复合仍为线性同构
线性同构推论
线性同构为等价关系（自反性，对称性，传递性）
两个线性空间之间存在线性同构\(\Longleftrightarrow\)它们的维数相等

特征值¶

特征值和特征向量¶

定义：特征值、特征向量、特征多项式\(|\lambda I_n - A|\)、特征子空间\((\lambda I_n - A) x = 0\)的解空间
若B ~ A，则B与A具有相同的特征多项式，从而具有相同的特征根(计重数）
\(|\lambda I_n - A| 为\varphi\)的特征多项式
任一复方阵必复相似与一个上三角矩阵
设矩阵A是n阶方阵，\(\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_n\)是A的全部特征值，\(f(x)\)是一个多项式，则\(f(\lambda_1),f(\lambda_2),\cdots,f(\lambda_n)是f(A)\)的全部特征值。（上三角阵的和，数乘及乘方仍是三角阵）
设A适合\(g(x),即g(A) = 0\)，则A的任一特征值\(\lambda\)也适合\(g(x),即g(\lambda) = 0\).
非异矩阵A的特征值为\(\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_n\),则\(A^{-1}\)的特征值为\(\lambda_1^{-1},\lambda_2^{-1},\cdots, \lambda_n^{-1}\)

高等代数¶

行列式¶

二阶行列式和三阶行列式¶

n阶行列式\(det(A) |A|\)（递归定义 性质 组合定义）¶

行列式的展开和转置¶

行列式的等价定义¶

矩阵¶

定义¶

运算¶

方阵的逆阵¶

矩阵的初等变换与初等矩阵¶

矩阵乘积的行列式与初等变换法求逆阵¶

分块矩阵¶

Caunchy-Biolet定理¶

线性空间¶

线性空间¶

向量的线性关系¶

向量组的秩¶

矩阵的秩¶

子空间¶

线性方程的解¶

线性映射¶

映射¶

线性映射¶

特征值¶

特征值和特征向量¶

n阶行列式\(det(A) |A|\)（递归定义性质组合定义）¶