数学分析

参考书籍

数学分析（陈纪修）； 数学分析习题讲义（谢惠民）。

本笔记为大纲式笔记，类似思维导图，方便查找和记忆，具体证明过程见pdf笔记。

数列极限

实数系的连续性

• 上确界与下确界
• 有界
• 确界的定义描述
• 确界存在定理（实数系的连续性公理）
  • 实数的小数表达
  • Dedekind公理
• 实数的性质
• 四则运算封闭
• 有序性
• 阿基米德性
• 稠密性
• Dedekind分割
• 定义
• Dedekind公理（实数部分《微积分入门》）

数列极限

• 定义（几何描述）
• 性质
• 唯一性
• 有界性
• 保序性（保号性）及其否命题
• 夹逼性
• 四则运算
• 收敛数列的每一子列收敛于同一极限
• Cauchy命题（平均收敛定理）
• Stolz定理
• 自然对数\(e\)和Euler常数\(\gamma\)
• 收敛准则
• 定义
• 单调有界收敛
• Cauchy收敛原理（压缩映像）
• 判断发散（收敛的对偶法则定义，性质，收敛准则）
• 对偶法则
• 无界数列发散
• 子列（发散子列；两子列收敛于不同极限）
• Cauchy收敛

实数系六大基本定理

• 确界原理
• 单调有界收敛
• 闭区间套定理
• \(B-W\)凝聚定理（有界数列必有收敛子列） \(\forall\varepsilon>0\)，在领域\(U(\xi,\varepsilon)\)中总有\(\{x_n\}\)的无穷项
• \(Cauchy\)收敛原理 不用知道具体的极限值；构造\(U(x_n,\frac{1}{n})\)来逼近；
• 有限覆盖定理
• 一个闭区间的任何一个开覆盖中一定有这个闭区间的有限子覆盖。
• 加强形式的覆盖定理（Lebesgue数）
• 聚点定理 有界无限点集必存在聚点。

实数系六大定理极其互证

实数完备性基本定理的相互证明(30个).pdf 数列极限与实数完备性.pdf

一些题目：

1. 已知\(S_n = 1 + \frac{1}{2^p} + \frac{1}{3^p} + \cdots + \frac{1}{n^p}\).

当\(p\)\(< 1\)时，证明\(\left\{S_n\right\}\)收敛；当\(p\ge1\)时，证明\(\{S_n\}\)发散。 \(proof\)： \(S_{2^n} - S_{2^{n-1}}=\frac{1}{2^{n-1}+1}+\frac{1}{2^{n-1}+2}+\dots+\frac{1}{2^n}>\frac{1}{2^n}+\frac{1}{2^n}+\cdots+\frac{1}{2^n}=\frac{2^{n-1}}{2^n}=\frac{1}{2}\) 若\(2^k<n<2^{k+1}\),\(k\in\mathbb{Z}^+\) 当\(p<1\)时，\(S_n >1+\frac{1}{2} + \frac{1}{3}+\frac{1}{4}+ \dots + \frac{1}{n}>1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{4}+\)\(\frac{1}{8} + \frac{1}{8} + \frac{1}{8}+\frac{1}{8}+\cdots>1+\frac{k}{2}\)则\(S_n\)为正无穷大量，\(S_n\)发散。 当\(p\ge 1\)时，\(S_n\)单调，下证\(S_n\)有界： \(S_n <1+\frac{1}{2^p}+\frac{1}{2^p}+\frac{1}{4^p}+\frac{1}{4^p}+\frac{1}{4^p}+\frac{1}{4^p}+\dots+\frac{1}{2^{k(1-p)}}=1+\frac{1}{2^{1-p}}+\frac{1}{2^{2(1-p)}}+\dots+\frac{1}{2^{k(1-p)}}\)\(<\frac{2^{1-p}}{2^{1-p}-1}\) \(\Box\)

1. 证明\(a_n=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\dots+(-1)^{n-1}\frac{1}{n}\)收敛.

\(proof\):

• 利用\(Cauchy\)收敛定理：分别证明奇数子列和偶数子列收敛。可证得\(a_n <\frac{1}{n+1}\)
• 利用闭区间套定理：构造闭区间套\([a_2,a_1]\supset[a_4,a_3]\supset\dots\supset[a_{2k},a_{2k-1}]\)，满足\(|I_k|=a_{2k-1}-a_{2k}=\frac{1}{2k}\)且\(\lim_{k\to\infty}|I_k|=0\).由闭区间套定理得，\(\exists\xi\in\cap_{k = 1}^{\infty}[a_{2k},a_{2k-1}]\)且\(\xi=\lim_{k\to\infty}a_{2k}=\lim_{k\to\infty}a_{2k-1}\)，因此\(\lim_{n\to\infty}a_n=\xi\).
• 莱布尼兹判别法：

函数极限

定义 单侧极限 定义的扩充

基本性质

• 唯一性
• 局部有界性
• 局部保号性
• 保序性
• 夹逼性
• 函数极限的四则运算法则
• 复合函数极限

基本命题

• 单调函数的单侧极限存在定理（确界存在定理）
• \(Heine\)归结原理（反证法）
• 推论\(f(x_0)\)极限存在\(\leftrightarrow\)\(\forall\{x_n\}\lim_{n\to\infty}x_n=x_0,f(x_n)\)一定收敛（证明收敛于同一极限）
• 函数极限的\(Cauchy\)收敛法则
• 两个重要极限
• \(\lim_{x\to0}\frac{sinx}{x}=1\)
• \(\lim_{x\to0}(1+x)^{\frac{1}{x}}=e\)
• 无穷小量，有界量，无穷大量和阶的比较
• o(),O()，同阶无穷小（大）量，等价无穷量 的定义
• 技巧：
• 把指数化为以\(e\)为底的函数，以及取对数
• 三角公式倍角公式，和差化积，积化和差
• 换元法
• 当\(x\to0\)时
• \(sinx = x+o(x)\)
• \(cosx = 1-\frac{1}{2x^2}+o(x^2)\)
• \(e^x=1+x+o(x)\)
• \(ln(1+x) = x+o(x)\)
• \((1+x)^\alpha=1+\alpha x+o(x)\)

连续函数

定义（单侧连续）

• 函数极限语言注意领域不在为去心领域，且要有定义
• \(Heine\)归结
• 左右极限存在且与该点函数值相等
• 振幅

间断点

• 第一类（跳跃）左右极限存在但不相等
• 第二类左右极限至少一个不存在
• 第三类（可去）左右极限存在且相等，但是与该点函数值不相等，或者函数在该点无定义

特殊函数的连续性

• 黎曼函数的连续性（无理数点连续，有理数点不连续，可去间断点）
• 狄利克雷函数的连续性（处处不连续）

反函数连续性

• 反函数存在性定理
• 若函数\(y=f(x),x\in D_f\)是严格单调增加的，则存在它的反函数\(x = f^{-1}(y),y\in R_f\)并且\(f^{-1}(y)\)也是单调增加的。
• 反函数连续性定理
• 函数\(y=f(x)\)在闭区间\([a,b]\)上连续且严格单调增加，\(f(a) = \alpha,f( b )=\beta\)，则它的反函数\(x=f^{-1}(y)\)在 \([\alpha,\beta]\)连续且严格单调增加。
  • \(f([a,b])=[\alpha,\beta],\forall\gamma\in[\alpha,\beta],\exists f(x_0)=\gamma\)，（注意对于区间的定义）
  • \(x = f^{-1}(y)\)的连续性

复合函数连续性

闭区间上的连续函数

• 有界性定理（反证，闭区间套定理；反证BW定理）
• 最值定理（确界，子列）
• 零点存在定理
• 确界定理
• 闭区间套定理（整体到局部）
• 覆盖原理（反证，局部到整体）
• 介值定理

一致连续性

• 定义（区间\(I\)）
• 充分必要条件等价刻画（点列）
• Cantor定理 有界闭区间上的连续函数必在这个区间上一致连续
• 覆盖原理
• 凝聚原理（反证）
• 有界开区间的连续函数在（a，b）上一致连续的充要条件是存在两个有限的单侧极限
• 函数在R上连续，若趋于正负无穷的极限存在，则该函数在R上一致连续
• 一致连续的复合函数也一致连续

单调函数

• 单调函数的间断点为跳跃点，即在该处单侧极限存在但不相等
• 单调函数的间断点至多为可列个（证明任何两个不同的间断点所对应的跳跃区间必不相交）
• \(f\)为区间\(I\)的单调函数，值域为区间的充分必要条件是f在区间\(I\)连续

微分中值定理

• Fermat定理：极值点的导数值为0
• Rolle定理：闭区间连续，开区间可导
• Lagrange中值定理：闭区间连续，开区间可导（）构造函数利用Rolle定理证明
• Cauchy中值定理：数k值法

不定积分

定积分

定积分的概念与可积条件

• Riemman可积
• \(\forall \varepsilon > 0,\exists \delta > 0,\forall\)分割\(P\)满足\(\left \|P\right\|< \delta，\forall\)介点集\(\{\xi_i\}\)，有\(|\sum_{i = 1}^nf(\xi_i)\Delta x_i - I| < \varepsilon\)
• \(Dirichlet\)函数在任意有界区间上都不可积
• 达布上下和以及\(Darbux\)上下积分
  • 分割加细，上和递减，下和递加
• 可积条件
• 设\(f \in R[a,b]\),则\(f\)在\([a,b]\)有界
• 可积的第一充分必要条件:有界函数\(f\in R[a,b] \Longleftrightarrow \lim_{\left \| p\right\| \rightarrow 0} \sum_{i = 1}^n \omega_i \Delta x_i = 0\)
• 可积的第二充分必要条件：有界函数\(f\in [a,b] \Longleftrightarrow\)\(\forall \varepsilon > 0,\exists P,s.t.\sum_P\omega_i \Delta x_i <\varepsilon.\)
• 可积的第三充分必要条件：有界函数 \(f \in R[a,b] \Longleftrightarrow \forall \varepsilon,\eta > 0,\exists P，s.t.\sum\Delta x_{\omega \ge\eta} < \varepsilon\)
• 命题：设函数f在[a,b]上有界，如果f的所有不连续点可以用总长度任意小的至多可列个开区间覆盖，则\(f \in R[a,b]\)
• 可积函数类
• \(若f \in C[a,b],则f \in R[a,b]\)
• 设\(f是[a,b]\)上的有界函数，且有有限个间断点，则\(f \in R[a,b]\)
• 设\(f在[a,b]\)单调，这\(f \in R[a,b]\)

定积分的性质

• 基本性质：
• 线性
• 乘积可积性
• 保序性
• 绝对可积性
• 区间可加性
• 积分第一中值定理：\(f(x) ,g(x)\in C[a,b],且g(x)在不变号，则\exists\eta,m_f \le \eta \le M_f,s.t.\int _a^bf(x)dx = \eta\int _a^bg(x)dx\)
• 若\(f \in C[a,b]\),则 \(\exists \xi \in [a,b],s.t.\int_a^bf(x)g(x)dx = f(\xi)\int _a^bg(x)dx\)
• 积分第二中值定理：
• Bonnet 型：设\(g(x) \in R[a,b],\)
  • 若\(f(x)\)在\([a,b]\)非负递减，则 \(\exists \xi \in [a,b]\),\(s.t.\int _a^bf(x)g(x)dx = f(a)\int _a^{\xi}g(x)dx\)
  • 若\(f(x)\)在\([a,b]\)非负递增，则 \(\exists \xi \in [a,b]\),\(s.t. \int _a^bf(x)g(x)dx = f(b)\int _{\xi}^bg(x)dx\)
• Weierstrass型：
  • 设\(f(x)\)在\([a,b]\)单调，\(g(x)\in R[a,b]\),则\(\exists \xi \in [a,b],s.t.\int_a^bf(x)g(x)dx = f(a)\int _a^{\xi}g(x)dx + f(b)\int_{\xi}^bg(x)dx\)

微积分基本定理

• Newton-Leibniz公式: \(f(x) \in R[a,b] ，F(x)= \int_a^xf(t)dt,x\in [a,b]\)，
• \(F(x) \in C[a,b], 若f(x) \in C[a,b],则F(x)\in D[a,b],且{F}'(x) = f(x)\)
• 微积分基本定理：
• \(设f(x) \in c[a,b],F(x)为f(x)的一个原函数，则成立 \int _a^bf(x)dx = F(b) - F(a)\)