堆

堆的定义

「堆 heap」是一种满足特定条件的完全二叉树，主要可分为两种类型，如下图所示。

「大顶堆 max heap」：任意节点的值 \(\ge\) 其子节点的值。 「小顶堆 min heap」：任意节点的值 \(\le\) 其子节点的值。

堆的实现

1.堆的储存和表示

“二叉树”章节讲过，完全二叉树非常适合用数组来表示。由于堆正是一种完全二叉树，因此我们将采用数组来存储堆。

当使用数组表示二叉树时，元素代表节点值，索引代表节点在二叉树中的位置。节点指针通过索引映射公式来实现。

如图 8-2 所示，给定索引 \(i\) ，其左子节点索引为 \(2i+1\) ，右子节点索引为\(2i+2\) ，父节点索引为 \(\frac{i-1}{2}\)（向下整除）。当索引越界时，表示空节点或节点不存在。

/* 获取左子节点索引 */
int left(MaxHeap *maxHeap, int i) {
    return 2 * i + 1;
}

/* 获取右子节点索引 */
int right(MaxHeap *maxHeap, int i) {
    return 2 * i + 2;
}

/* 获取父节点索引 */
int parent(MaxHeap *maxHeap, int i) {
    return (i - 1) / 2;
}

2.访问堆顶元素

/* 访问堆顶元素 */
int peek(MaxHeap *maxHeap) {
    return maxHeap->data[0];
}

3.元素入堆

给定元素 val ，我们首先将其添加到堆底。添加之后，由于 `val`` 可能大于堆中其他元素，堆的成立条件可能已被破坏，因此需要修复从插入节点到根节点的路径上的各个节点，这个操作被称为「堆化 heapify」。

考虑从入堆节点开始，从底至顶执行堆化 。如下图所示，我们比较插入节点与其父节点的值，如果插入节点更大，则将它们交换。然后继续执行此操作，从底至顶修复堆中的各个节点，直至越过根节点或遇到无须交换的节点时结束。

/* 元素入堆 */
void push(MaxHeap *maxHeap, int val) {
    // 默认情况下，不应该添加这么多节点
    if (maxHeap->size == MAX_SIZE) {
        printf("heap is full!");
        return;
    }
    // 添加节点
    maxHeap->data[maxHeap->size] = val;
    maxHeap->size++;

    // 从底至顶堆化
    siftUp(maxHeap, maxHeap->size - 1);
}

/* 从节点 i 开始，从底至顶堆化 */
void siftUp(MaxHeap *maxHeap, int i) {
    while (true) {
        // 获取节点 i 的父节点
        int p = parent(maxHeap, i);
        // 当“越过根节点”或“节点无须修复”时，结束堆化
        if (p < 0 || maxHeap->data[i] <= maxHeap->data[p]) {
            break;
        }
        // 交换两节点
        swap(maxHeap, i, p);
        // 循环向上堆化
        i = p;
    }
}

时间复杂度：\(O(logn)\)

堆顶出堆

堆顶元素是二叉树的根节点，即列表首元素。如果我们直接从列表中删除首元素，那么二叉树中所有节点的索引都会发生变化，这将使得后续使用堆化进行修复变得困难。为了尽量减少元素索引的变动，我们采用以下操作步骤。

• 交换堆顶元素与堆底元素（交换根节点与最右叶节点）。
• 交换完成后，将堆底从列表中删除（注意，由于已经交换，因此实际上删除的是原来的堆顶元素）。
• 从根节点开始，从顶至底执行堆化。 “从顶至底堆化”的操作方向与“从底至顶堆化”相反，我们将根节点的值与其两个子节点的值进行比较，将最大的子节点与根节点交换。然后循环执行此操作，直到越过叶节点或遇到无须交换的节点时结束。

/* 元素出堆 */
int pop(MaxHeap *maxHeap) {
    // 判空处理
    if (isEmpty(maxHeap)) {
        printf("heap is empty!");
        return INT_MAX;
    }
    // 交换根节点与最右叶节点（交换首元素与尾元素）
    swap(maxHeap, 0, size(maxHeap) - 1);
    // 删除节点
    int val = maxHeap->data[maxHeap->size - 1];
    maxHeap->size--;
    // 从顶至底堆化
    siftDown(maxHeap, 0);

    // 返回堆顶元素
    return val;
}

/* 从节点 i 开始，从顶至底堆化 */
void siftDown(MaxHeap *maxHeap, int i) {
    while (true) {
        // 判断节点 i, l, r 中值最大的节点，记为 max
        int l = left(maxHeap, i);
        int r = right(maxHeap, i);
        int max = i;
        if (l < size(maxHeap) && maxHeap->data[l] > maxHeap->data[max]) {
            max = l;
        }
        if (r < size(maxHeap) && maxHeap->data[r] > maxHeap->data[max]) {
            max = r;
        }
        // 若节点 i 最大或索引 l, r 越界，则无须继续堆化，跳出
        if (max == i) {
            break;
        }
        // 交换两节点
        swap(maxHeap, i, max);
        // 循环向下堆化
        i = max;
    }
}

时间复杂度：\(O(logn)\)